Numerical Solution

Numerical Solution of Algebraic and Transcendental Equation

Persamaan transcendental : sin, cos, tan,

Persamaan polynomial : a0 + a1x + a2x2 ……. + anxn + ……

Penyelesaian persamaan non linier

  1. Metode Tertutup

  2. Mencari akar pada range [a,b] tertentu

  3. Dalam range[a,b] dipastikan terdapat satu akar

  4. Hasil selalu konvergen → disebut juga metode konvergen

  5. Contohnya Metode Tabel ,Metode Biseksi,Metode Regula Falsi

  6. Metode Terbuka

  7. Diperlukan tebakan awal

  8. xn dipakai untuk menghitung xn+1

  9. Hasil dapat konvergen atau divergen

  10. Contohnya Metode Iterasi Sederhana, Metode Newton-Raphson, Metode Secant.

  11. method Bisection

Metode biseksi ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung akar sedangkan bagian yang tidak mengandung akar akan dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh suatu akar persamaan

langkah langkah

  • Tentukan batas bawah (a) dan batas atas (b). Kemudian dihitung nilai tengah :

$$ c = {(a+b)\over 2} $$

  • Dari nilai c ini perlu dilakukan pengecekan keberadaan akar. Secara matematik, suatu range terdapat akar persamaan bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau dituliskan :

$$ f(a).f(b) <0 $$

  • Setelah diketahui di bagian mana terdapat akar, maka batas bawah dan batas atas diperbarui sesuai dengan range dari bagian yang mempunyai akar

algoritma metode bisection

1.Definisikan fungsi f(x) yang akan dicari akarnya

2.Tentukan nilai a dan b

3.Tentukan toleransi e dan iterasi maksimum N

4.Hitung f(a) dan f(b)

5.Jika f(a).f(b)>0 maka proses dihentikan karena tidak ada akar, bila tidak maka dilanjutkan

6.Hitung x = (a+b)/2

7.Hitung f(x)

8.Bila f(x).f(a)<0 maka b = x dan f(b)=f(x), bila tidak maka a=x dan f(a)=f(x)

9.Jika |b-a|< e atau iterasi > iterasi maks maka proses dihentikan dan didapatkan akar x, bila tidak, ulangi langkah 6

implementasi metode bisection dalam python

def bisection(f,a,b,N):

    if f(a)*f(b) >= 0:
        print("Bisection method fails.")
        return None
    a_n = a
    b_n = b
    for n in range(1,N+1):
        m_n = (a_n + b_n)/2
        f_m_n = f(m_n)
        if f(a_n)*f_m_n < 0:
            a_n = a_n
            b_n = m_n
        elif f(b_n)*f_m_n < 0:
            a_n = m_n
            b_n = b_n
        elif f_m_n == 0:
            print("Found exact solution.")
            return m_n
        else:
            print("Bisection method fails.")
            return None
    return (a_n + b_n)/2
f = lambda x: x**2 - 5*x + 6
approx_phi = bisection(f,1,2.3,25)
print(approx_phi)

1.9999999985098835
  1. methot Regula Falsi

1.Metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range.

2.Dua titik a dan b pada fungsi f(x) digunakan untuk mengestimasi posisi c dari akar interpolasi linier.

3.Dikenal dengan metode False Position

4.Metode ini juga merupakan penyempurna dari metode bisection

algoritma method regula falsi

  1. Definisikan fungsi f(x)

  2. Tentukan batas bawah (a) dan batas atas (b)

  3. Tentukan toleransi error e

  4. Hitung f(a) dan f(b)

  5. Untuk iterasi 1 s/d n > e : $$ c= {(f(b).a -f(a).b)\over (f(b)-f(a))} $$ Hitung f(c)=f(x)

​ Hitung error = |f(c)|

​ Jika f(c).f(a)<0 maka nilai a tetap ,jika tidak maka a=c dan f(a)=f(c)

  1. Akar persamaanya = c

implementasi method regula falsi dalam python

error = 0.01
a = 0
b = 2.1

def f(x):
    return x**2 - 5*x + 6

def regulasi_falsi(a,b):
    i=0
    max_iter = 50
    iteration = True
    while iteration and i < max_iter:
        if f(a)*f(b) < 0:
            x = (a*abs(f(b)) + b*abs(f(a))) / (abs(f(a)) + abs(f(b)))
            if f(a)*f(x) < 0:
                b = x

            if f(x)*f(b) < 0:
                a = x

            if abs(a-b) < error:
                iteration = False
            else:
                i+=1
        else:
            print('tidak di temukan akar')
    print('x =', x)


regulasi_falsi(a,b)

x = 2.000000000174259
  1. Metode Newton Raphson

Metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range.

Dua titik a dan b pada fungsi f(x) digunakan untuk mengestimasi posisi c dari akar interpolasi linier.

Dikenal dengan metode False Position

Metode ini juga merupakan penyempurna dari metode bisection

Prinsip Metode Newton Raphson

Metode Newton-Raphson adalah metode pencarian akar suatu fungsi f(x) dengan pendekatan satu titik, dimana fungsi f(x) mempunyai turunan. Metode ini dianggap lebih mudah dari Metode Bagi-Dua (Bisection Method) karena metode ini menggunakan pendekatan satu titik sebagai titik awal.

prosedur

  1. Menentukan x0 sebagai titik awal.

  2. Menarik garis lurus (misal garis P) yang menyinggung titik f(x0). Hal ini berakibat garis P memotong sumbu-x di titik x1.

  3. Ulangi langkah sebelumnya tapi sekarang x1 dianggap sebagai titik awalnya.

Dari mengulang langkah-langkah sebelumnya akan mendapatkan x1,x2,x3,...,,xn dengan xn yang diperoleh adalah bilangan riil yang merupakan akar atau mendekati akar yang sebenarnya

algoritma

png

implementasi Metode Newton Raphson python

def newton(f,Df,x0,epsilon,max_iter):

    xn = x0
    for n in range(0,max_iter):
        fxn = f(xn)
        if abs(fxn) < epsilon:
            print('Found solution after',n,'iterations.')
            return xn
        Dfxn = Df(xn)
        if Dfxn == 0:
            print('Zero derivative. No solution found.')
            return None
        xn = xn - fxn/Dfxn
    print('Exceeded maximum iterations. No solution found.')
    return None
p = lambda x: x**2 - 5*x + 6
Dp = lambda x: 2*x - 5 
approx = newton(p,Dp,1,1e-3,10)
print(approx)

Found solution after 4 iterations.
1.9999847409781035
  1. Metode Secant

■Metode Newton Raphson memerlukan perhitungan turunan fungsi f’(x).

■Tidak semua fungsi mudah dicari turunannya terutama fungsi yang bentuknya rumit.

■Turunan fungsi dapat dihilangkan dengan cara menggantinya dengan bentuk lain yang ekivalen

■Modifikasi metode Newton Raphson dinamakan metode Secant.

formula secant

$$ y = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a) + f(a) $$

$$ 0 = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a) + f(a) $$

$$ x = a - f(a)\frac{b - a}{f(b) - f(a)} $$

algoritma method secant

■ Definisikan f(x)

■ Definisikan toleransi error e dan iterasi maksimum (n)

■ Masukan dua nilai pendekatan awal yang diantaranya terdapat akar yaitu x_0 dan x_1 ,sebaiknya gunakan metode tabel untuk menjamin titik pendekatanya adalah titik pendekatan yang konvergensinya pada akar persamaan yang diharapkan.

■ Hitung f(x_0 ) dan fx_1 sebagai y_0 dan y_1

■ Untuk iterasi 1 s/d n

x_(i+1)= x_i-(f(xi)(x_i 〖-x〗(i-1)))/(y_i - y(i-1) )

hitung y_(i+1)=〖f(x〗_(i+1))

Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir

implementasi method secant pada python

def secant(f,a,b,N):


    if f(a)*f(b) >= 0:
        print("Secant method fails.")
        return None
    a_n = a
    b_n = b
    for n in range(1,N+1):
        m_n = a_n - f(a_n)*(b_n - a_n)/(f(b_n) - f(a_n))
        f_m_n = f(m_n)
        if f(a_n)*f_m_n < 0:
            a_n = a_n
            b_n = m_n
        elif f(b_n)*f_m_n < 0:
            a_n = m_n
            b_n = b_n
        elif f_m_n == 0:
            print("Found exact solution.")
            return m_n
        else:
            print("Secant method fails.")
            return None
    return a_n - f(a_n)*(b_n - a_n)/(f(b_n) - f(a_n))

p = lambda x: x**2 - 5*x + 6
approx = secant(p,1,2.4,20)
print(approx)

2.0000003178913373